Analysis Beispiele

$y = 2 x - \tan (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 x - \tan (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 2.2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 2.2.2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.2.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Schritt 2.2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Schritt 2.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.3

Setze $\sec^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\sec^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\sec^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (x) = \pm 0$

Schritt 3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3.4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 3.4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = 2 x - \tan (x)$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.20268949$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty,)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty,)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.20268949$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(, \infty)$

Abfallend im Intervall $(, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(,)$ .

$(,)$

Schritt 9