Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.11.3

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.15.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.15.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.15.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.19

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.20

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.21

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.21.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.21.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.23

Um ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.25

Multipliziere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.25.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.25.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.25.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.26

Vereinfache ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.27

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.28

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.29

Schreibe $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ als ein Produkt um.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

Schritt 2.1.30

Mutltipliziere $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Schritt 2.1.31

Multipliziere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.31.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1.31.1.1

Potenziere $x^{2} + 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Schritt 2.1.31.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

Schritt 2.1.31.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

Schritt 2.1.31.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

Schritt 2.1.31.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.1.32

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.33

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Schritt 2.2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.8

Kombiniere ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.9.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.9.2

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ und $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Schritt 2.2.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Schritt 2.2.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Schritt 2.2.17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 2.2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.18.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Schritt 2.2.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 2.2.18.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 2.2.18.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 2.2.18.5

Kombiniere $\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 2.2.18.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$12 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$x = 0$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0.01$ und $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $2.01$ als ${1.41774468}^{2}$ um.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $1.41774468$ mit $5$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 1.2$ durch $5.72783031$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.20950341$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.20950341$ .

$0.20950341$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.20950341$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.01$ und $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $2.01$ als ${1.41774468}^{2}$ um.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 7.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Schritt 7.2.2.6

Potenziere $1.41774468$ mit $5$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $1.2$ durch $5.72783031$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.20950341$ .

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.20950341$ .

$- 0.20950341$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.20950341$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 9