Analysis Beispiele

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.1.2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.1.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.1.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.1.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.1.2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 1.1.2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.2.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 1.1.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 1.1.2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.6.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $[0, \infty)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $[0, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5