Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.8

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.2.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 4)}^{2} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 (- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.7.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + 4 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ als $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Multipliziere $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} + 2 (- 8 x^{2}) + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 32) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{4} x - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{1 + 2} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{1 + 2} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $(4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3} + 4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{2} x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 (x^{3} x^{2})) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{3 + 2}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{5}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{2} x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{3}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Subtrahiere $16 x^{3}$ von $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 0 + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Subtrahiere $4 x^{5}$ von $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Addiere $32 x$ und $64 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $96 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 48 = - 48$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.1.2

Schreibe $- 8$ um als $4$ plus $- 12$

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + (4 - 12) u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + 4 u - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u^{2} + 4 u) - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{2 x (u (- u + 4) + 12 (- u + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u + 4) (u + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 4) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.7

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2^{2} - x^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{((2 + x) (2 - x))}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.4

Wende die Produktregel auf $(2 + x) (2 - x)$ an.

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + x$ und ${(2 + x)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.6.1

Faktorisiere $2 + x$ aus $2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $2 + x$ aus ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und ${(2 - x)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.7.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $2 - x$ aus ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 12$ gleich $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 12$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 12}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.3.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{4 - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 4$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2, - 2}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(2 + 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} \cdot 6^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot 6^{3}}$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 12)}{- 8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $16$ und $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 28}{- 8 \cdot 216}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 28}{- 1728}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 224}{- 1728}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 224$ und $- 1728$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 224$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{- 32 \cdot 7}{- 1728}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (- 4) = \frac{- 32 \cdot 7}{- 32 \cdot 54}$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = \frac{- 32 \cdot 7}{- 32 \cdot 54}$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = \frac{7}{54}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{54}$ .

$\frac{7}{54}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(2 - 1)}^{3} {(2 - (- 1))}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(2 - 1)}^{3} {(2 - (- 1))}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(2 - 1)}^{3} {(2 - (- 1))}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(2 - (- 1))}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(2 + 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} \cdot 3^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot 3^{3}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot 27}$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{27}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 + 12)}{27}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $1$ und $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot 13}{27}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 26}{27}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 1) = - \frac{26}{27}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{26}{27}$ .

$- \frac{26}{27}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 0)$ konkav, weil $f'' (- 1)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{(2 + 1)}^{3} {(2 - (1))}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{(2 + 1)}^{3} {(2 - (1))}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{{(2 + 1)}^{3} {(2 - (1))}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(2 - (1))}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(2 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{3^{3} \cdot 1^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{27 \cdot 1^{3}}$

Schritt 6.2.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{27 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{2 (1 + 12)}{27 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $1$ und $12$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot 13}{27 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot 13}{27}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$f'' (1) = \frac{26}{27}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{26}{27}$ .

$\frac{26}{27}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 2)$ konvex, weil $f'' (1)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{216 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 12)}{216 \cdot - 8}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $16$ und $12$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 28}{216 \cdot - 8}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $216$ mit $- 8$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 28}{- 1728}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $28$ .

$f'' (4) = \frac{224}{- 1728}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $224$ und $- 1728$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.1

Faktorisiere $32$ aus $224$ heraus.

$f'' (4) = \frac{32 (7)}{- 1728}$

Schritt 7.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 1728$ heraus.

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 54}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 54}$

Schritt 7.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{7}{- 54}$

Schritt 7.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{7}{54}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{54}$ .

$- \frac{7}{54}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9