Analysis Beispiele

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Schritt 1

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $x$ und $2 x$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Schritt 3

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Schritt 5

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Schritt 6.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Schritt 6.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $48$ mit $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Schritt 7.3.5

Addiere $- 12 x^{2}$ und $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Schritt 7.3.6

Subtrahiere $24 x$ von $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$