Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\int x^{11} d x)$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int x^{11} d x]$

Schritt 1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int x^{11} d x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x}$ und $g (x) = \int x^{11} d x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\int x^{11} d x] + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

$\int x^{11} d x$ is eine Stammfunktion von $x^{11}$ , folglich ist per Definition $\frac{d}{d x} [\int x^{11} d x]$ gleich $x^{11}$ .

$\frac{1}{x} x^{11} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x^{11}$ .

$\frac{x^{11}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{11}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{11}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{10}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x^{1}} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{10}}{1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{10}$ durch $1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- x^{- 2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$x^{10} - \frac{1}{x^{2}} \int x^{11} d x$

Schritt 6.3

Kombiniere $- \frac{1}{x^{2}}$ und $\int x^{11} d x$ .

$x^{10} - \frac{\int x^{11} d x}{x^{2}}$