Analysis Beispiele

$\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{1 + t^{3}} d t$

Schritt 1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})})$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})})$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})})$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$