Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{1}{5}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{12}{5} x + \frac{1}{5}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{12}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 12}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 1.1.3

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{12 x}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{5} - \frac{12 x}{5} + \frac{1}{5}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$b = - \frac{12}{5}$

$c = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{12}{5}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 (- 6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{5}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{- 6}{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{- 6}{\frac{5}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 6}{\frac{5}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 1.2.3.2.6

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{1}{5} - \frac{{(- \frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{12}{5}$ an.

$e = \frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{12}{5}$ an.

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 \frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 \frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 (\frac{144}{25})}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{144}{25}$ mit $1$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $144$ heraus.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{1}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{1 - 36}{5}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $36$ von $1$ .

$e = \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 35$ durch $5$ .

$e = - 7$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{5} {(x - 6)}^{2} - 7$ ein.

$\frac{1}{5} {(x - 6)}^{2} - 7$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} - 7$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$h = 6$

$k = - 7$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(6, - 7)$

Schritt 4