Analysis Beispiele

$y = 2 - x$ , $y = x^{3}$ , $y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 - x = x^{3}$

Schritt 1.2

Löse $2 - x = x^{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - x - x^{3} = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 - x - x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Bewege $2$ .

$- x - x^{3} + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Stelle $- x$ und $- x^{3}$ um.

$- x^{3} - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- x^{3} - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (x^{3}) - (x) + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (x^{3}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (x)$ heraus.

$- (x^{3} + x) - 1 \cdot - 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (x^{3} + x - 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x^{3} + x - 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{3} + x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 1 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 1 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5

Dividiere $x^{3} + x - 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 1.2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x + 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x^{2} + x + 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.1.6

Schreibe $x^{3} + x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{3} y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = {(1)}^{3}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1$

Schritt 1.4

Setze $1$ für $x$ in $y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Vereinfache ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = 1 - 2$

Schritt 1.4.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = - 1$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3} y = {(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.5.2

Vereinfache ${(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{3} {(\frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3}$

Schritt 1.5.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 1.5.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = - \frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.5.2.4.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{7}$ an.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.6.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.8

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.5.2.4.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.4.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{1}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.11

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 7)$ .

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Schritt 1.5.2.4.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 \cdot - 7 + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.5.2.4.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{7}$ an.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- i)}^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.12.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - - i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + 1 i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.18

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.19

Schreibe ${\sqrt{7}}^{3}$ als $\sqrt{7^{3}}$ um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{7^{3}}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.20

Potenziere $7$ mit $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{343}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.21

Schreibe $343$ als $7^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.5.2.4.1.21.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{49 (7)}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.21.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.22

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i (7 \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.5.2.4.1.23

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + 7 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.2.4.2.1

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$y = - \frac{- 3 i \sqrt{7} - 20 + 7 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.2

Addiere $- 3 i \sqrt{7}$ und $7 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{4 i \sqrt{7} - 20}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.3

Stelle $4 i \sqrt{7}$ und $- 20$ um.

$y = - \frac{- 20 + 4 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20 + 4 i \sqrt{7}$ und $8$ .

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Schritt 1.5.2.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = - \frac{4 \cdot - 5 + 4 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = - \frac{4 \cdot - 5 + 4 (i \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot - 5 + 4 (i \sqrt{7})$ heraus.

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.5.2.4.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.4.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{4 (2)}$

Schritt 1.5.2.4.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.4.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{- 5 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y = - \frac{- 1 (5) + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{7}$ heraus.

$y = - \frac{- 1 (5) - (- i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- i \sqrt{7})$ heraus.

$y = - \frac{- 1 (5 - i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.2.4.2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.4.2.8.3

Mutltipliziere $\frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache ${(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$ .

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.6.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe ${(1 - i \sqrt{7})}^{2}$ als $(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})$ um.

$y = \frac{(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.6

Multipliziere $(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 (1 - i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.2

Mutltipliziere $- i \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4

Multipliziere $- i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})$ .

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Schritt 1.6.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 1 i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + \sqrt{7} i (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.7

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} (i^{1} i)}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.8

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} (i^{1} i^{1})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i^{1 + 1}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.6.1.7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{1} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7 i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7 \cdot - 1}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - 7}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$y = \frac{- i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.7.3

Subtrahiere $i \sqrt{7}$ von $- i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{- 2 i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.8

Stelle $- 2 i \sqrt{7}$ und $- 6$ um.

$y = \frac{- 6 - 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6 - 2 i \sqrt{7}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 (- 3) - 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = \frac{2 (- 3) + 2 (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3) + 2 (- i \sqrt{7})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.6.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 2 \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.6.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 2 (- 1) \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.6.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.6.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 1 (- (1 - i \sqrt{7}))$

Schritt 1.6.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 1 (1 - i \sqrt{7})$

Schritt 1.6.1.12

Mutltipliziere $1 - i \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 1 - i \sqrt{7}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + \frac{2}{2} - i \sqrt{7}$

Schritt 1.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} - i \sqrt{7}$

Schritt 1.6.3

Um $- i \sqrt{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} - i \sqrt{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.6.4

Kombiniere $- i \sqrt{7}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} + \frac{- i \sqrt{7} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.6.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (1) - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.7

Berechne $y$ bei $x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3} y = {(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.7.2

Vereinfache ${(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3}$ .

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Schritt 1.7.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{3} {(\frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3}$

Schritt 1.7.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 1.7.2.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 1.7.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 1.7.2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = - \frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1^{2} (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.5

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{7}$ an.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.7.2.4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.2.4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{1}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.8

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 7)$ .

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Schritt 1.7.2.4.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 \cdot - 7 + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.9

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{7}$ an.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + i^{2} \cdot i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - 1 \cdot i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.13

Schreibe ${\sqrt{7}}^{3}$ als $\sqrt{7^{3}}$ um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{7^{3}}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.14

Potenziere $7$ mit $3$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{343}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.15

Schreibe $343$ als $7^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.7.2.4.1.15.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{49 (7)}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.15.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i (7 \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.7.2.4.1.17

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - 7 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.2.4.2.1

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$y = - \frac{3 i \sqrt{7} - 20 - 7 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.2

Subtrahiere $7 i \sqrt{7}$ von $3 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{- 4 i \sqrt{7} - 20}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.3

Stelle $- 4 i \sqrt{7}$ und $- 20$ um.

$y = - \frac{- 20 - 4 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20 - 4 i \sqrt{7}$ und $8$ .

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Schritt 1.7.2.4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = - \frac{4 (- 5) - 4 i \sqrt{7}}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = - \frac{4 (- 5) + 4 (- i \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 5) + 4 (- i \sqrt{7})$ heraus.

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{8}$

Schritt 1.7.2.4.2.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.4.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2.4.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2.4.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{- 5 - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y = - \frac{- 1 (5) - i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{7}$ heraus.

$y = - \frac{- 1 (5) - (i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (i \sqrt{7})$ heraus.

$y = - \frac{- 1 (5 + i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.2.4.2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.7.2.4.2.8.3

Mutltipliziere $\frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.8

Vereinfache ${(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.8.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.5

Schreibe ${(1 + i \sqrt{7})}^{2}$ als $(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})$ um.

$y = \frac{(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.6

Multipliziere $(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.8.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 (1 + i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.2

Mutltipliziere $i \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.3

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4

Multipliziere $i \sqrt{7} (i \sqrt{7})$ .

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Schritt 1.8.1.7.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1} i \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1} i^{1} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.5

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.6

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 {\sqrt{7}}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 1.8.1.7.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.7.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{1}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 7}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$y = \frac{i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.7.3

Addiere $i \sqrt{7}$ und $i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{2 i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.8

Stelle $2 i \sqrt{7}$ und $- 6$ um.

$y = \frac{- 6 + 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6 + 2 i \sqrt{7}$ und $4$ .

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Schritt 1.8.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $2 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3 + 2 (i \sqrt{7})$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.1.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{2 (2)} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Schritt 1.8.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 2 \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.8.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 2 (- 1) \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.8.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.8.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 1 (- (1 + i \sqrt{7}))$

Schritt 1.8.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 1 (1 + i \sqrt{7})$

Schritt 1.8.1.12

Mutltipliziere $1 + i \sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 1 + i \sqrt{7}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + \frac{2}{2} + i \sqrt{7}$

Schritt 1.8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + i \sqrt{7}$

Schritt 1.8.3

Um $i \sqrt{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + i \sqrt{7} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $i \sqrt{7}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + \frac{i \sqrt{7} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.8.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (1) + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{7}$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.8.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Schritt 1.8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.9

Liste alle Lösungen auf.

$y = 1, y = - 1, x = 1$

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = 1, y = - 1, x = 1$

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3