Analysis Beispiele

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere $e^{{(1)}^{2}}$ mit $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = e^{1}$

Schritt 1.3.2.3.3

Vereinfache.

$y = e$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, e)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $e$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Schritt 3.4

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.4.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 3.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 3.4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = e^{1}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache.

$u_{lower} = e$

Schritt 3.4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Schritt 3.4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Schritt 3.7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Schritt 3.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Berechne $\frac{1}{2} u_{2}$ bei $e^{e^{2}}$ und $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Schritt 3.8.2

Berechne $e^{x}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Schritt 3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Schritt 3.8.3.2

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Schritt 3.8.3.3

Vereinfache.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Schritt 3.8.3.4

Um $- (e^{e} - e)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Schritt 3.8.3.5

Kombiniere $- (e^{e} - e)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Schritt 3.8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Schritt 3.8.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Schritt 3.9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Schritt 3.9.3

Subtrahiere $e$ von $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Schritt 4