Analysis Beispiele

$y = \sin (x)$ , $y = x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sin (x) = x$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 0$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $\frac{π}{2}$ und $π$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - (\sin (x)) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 3.6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.7.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Schritt 3.7.1.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Schritt 3.7.2.2

Addiere $- \cos (π)$ und $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Schritt 3.7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Schritt 3.7.2.4

Mutltipliziere $\cos (π)$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3

Vereinfache.

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Schritt 3.7.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Schritt 3.7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.4

Um $\frac{π^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.7.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.7

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2} \cdot 4$ .

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Schritt 3.7.3.7.1

Stelle $π^{2}$ und $4$ um.

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.7.3.7.2

Subtrahiere $π^{2}$ von $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Schritt 3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Schritt 3.8.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Schritt 4