Analysis Beispiele

$x = - 5$ , $x = 3$ , $y = 2 x^{2} + 9$ , $y = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2

Löse $2 x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 9$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Schreibe $- \frac{9}{2}$ als $i^{2} \frac{3^{2}}{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{9}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2}}{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3^{2}}{2}}$

Schritt 1.2.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 1.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 1.2.4.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{3 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 d x - \int_{- 5}^{3} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 5$ und $3$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $2 x^{2} + 9$ .

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 5}^{3} x^{2} d x + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{3}) + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{3}) + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Schritt 3.7

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{3}) + 9 x]_{- 5}^{3}$

Schritt 3.8

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 5$ .

$2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 5}^{3}$

Schritt 3.8.2

Berechne $9 x$ bei $3$ und $- 5$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$2 (9 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.3

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$2 (9 - \frac{- 125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (9 - - \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (9 + 1 (\frac{125}{3})) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.6

Mutltipliziere $\frac{125}{3}$ mit $1$ .

$2 (9 + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.8

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{9 \cdot 3 + 125}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$2 \frac{27 + 125}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.10.2

Addiere $27$ und $125$ .

$2 (\frac{152}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{152}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 152}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $152$ .

$\frac{304}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.13

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{304}{3} + 27 - 9 \cdot - 5$

Schritt 3.8.3.14

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 5$ .

$\frac{304}{3} + 27 + 45$

Schritt 3.8.3.15

Addiere $27$ und $45$ .

$\frac{304}{3} + 72$

Schritt 3.8.3.16

Um $72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{304}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.8.3.17

Kombiniere $72$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{304}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.8.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{304 + 72 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.8.3.19

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.19.1

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$\frac{304 + 216}{3}$

Schritt 3.8.3.19.2

Addiere $304$ und $216$ .

$\frac{520}{3}$

Schritt 4