Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $y = {(x - 8)}^{2}$ , $y = 32$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} = {(x - 8)}^{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x | = | x - 8 | + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$x = x - 8$

$x = - (x - 8)$

$- x = x - 8$

$- x = - (x - 8) + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$x = x - 8$

$x = - (x - 8) + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.3

Löse $x = x - 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$0 = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.3.2

Da $0 \neq - 8$ , gibt es keine Lösungen.

No $s o l u t i o n + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

No $s o l u t i o n + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4

Löse $x = - (x - 8)$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Vereinfache $- (x - 8)$ .

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.4.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$2 x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.4.3.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.2.2.5

Liste alle Lösungen auf.

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 4$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$y = {((4) - 8)}^{2} y = 32$

Schritt 1.3.2

Setze $4$ für $x$ in $y = {((4) - 8)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(4 - 8)}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {((4) - 8)}^{2}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache ${((4) - 8)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$y = {(- 4)}^{2}$

Schritt 1.3.2.3.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = 16$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 16)$

Schritt 2

Vereinfache ${(x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 8)}^{2}$ als $(x - 8) (x - 8)$ um.

$y = (x - 8) (x - 8)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$