Analysis Beispiele

$y = x^{3} + 3$ ; $y = 0$ ; $0 \leq x \leq 2$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{3} + 3 = 0$

Schritt 1.2

Löse $x^{3} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 3$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 3$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{3}$ als $- \sqrt[3]{3}$ um.

$x = - \sqrt[3]{3}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $- \sqrt[3]{3}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \sqrt[3]{3}, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $x^{3} + 3$ .

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} 3 d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 3 d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + 3 x]_{0}^{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ und $3 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 x]_{0}^{2}$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4} + 3 x$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 3 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $16$ .

$\frac{16}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 + 6 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.5

Addiere $4$ und $6$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$10 - (0 + 3 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$10 - (0 + 0)$

Schritt 3.6.2.2.9

Addiere $0$ und $0$ .

$10 - 0$

Schritt 3.6.2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$10 + 0$

Schritt 3.6.2.2.11

Addiere $10$ und $0$ .

$10$

Schritt 4