Analysis Beispiele

$y = e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- x}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 5]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Schritt 6

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Schritt 11.2

Addiere $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5}$

Schritt 13