Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 1, 1]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x^{2} + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Schritt 8

Berechne $\arctan (x)$ bei $1$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $- - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Schritt 9.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Schritt 9.3

Addiere $π$ und $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Schritt 9.5

Kombiniere $5$ und $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 11

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Schritt 12