Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6 \cos (x)$ aus $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6 \cos (x)$ aus $- 6 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6 \cos (x)$ aus $- 6 \cos (x)$ heraus.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6 \cos (x)$ aus $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.4.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.5.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.5.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.5.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.8.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 5.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 5.4

Bei $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ ist die Ableitung $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ ist die Ableitung $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Schritt 8