Analysis Beispiele

$H (t) = \frac{3}{2} t^{4} - t^{6}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{2} t^{4} - t^{6}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{3}{2} t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{6}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (\frac{3}{2} t^{4}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{3}{2} t^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2} t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$f' (t) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t^{4}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (t) = \frac{3}{2} \cdot (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$f' (t) = \frac{4 \cdot 3}{2} t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (t) = \frac{12}{2} t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{12}{2}$ und $t^{3}$ .

$f' (t) = \frac{12 t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12 t^{3}$ heraus.

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (t) = \frac{6 t^{3}}{1} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Dividiere $6 t^{3}$ durch $1$ .

$f' (t) = 6 t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t^{6}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{6}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{6}]$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - \frac{d}{d t} t^{6}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - (6 t^{5})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - 6 t^{5}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (t) = - 6 t^{5} + 6 t^{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $H (t)$ nach $t$ ist $- 6 t^{5} + 6 t^{3}$ .

$- 6 t^{5} + 6 t^{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 t^{5} + 6 t^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 t^{5} + 6 t^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 6 t^{3}$ aus $- 6 t^{5} + 6 t^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 6 t^{3}$ aus $- 6 t^{5}$ heraus.

$- 6 t^{3} t^{2} + 6 t^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 6 t^{3}$ aus $6 t^{3}$ heraus.

$- 6 t^{3} t^{2} - 6 t^{3} \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 6 t^{3}$ aus $- 6 t^{3} (t^{2}) - 6 t^{3} (- 1)$ heraus.

$- 6 t^{3} (t^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 6 t^{3} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$- 6 t^{3} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 6 t^{3} (t + 1) (t - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t^{3} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $t^{3}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $t^{3}$ gleich $0$ .

$t^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $t^{3} = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$t = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$t = 0$

Schritt 2.5

Setze $t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $t + 1$ gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 1$

Schritt 2.6

Setze $t - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 6 t^{3} (t + 1) (t - 1) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - 1, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $t$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 2$ .

$H' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} + 6 {(- 2)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$H' (- 2) = - 6 \cdot - 32 + 6 {(- 2)}^{3}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 32$ .

$H' (- 2) = 192 + 6 {(- 2)}^{3}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$H' (- 2) = 192 + 6 \cdot - 8$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 8$ .

$H' (- 2) = 192 - 48$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $48$ von $192$ .

$H' (- 2) = 144$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 5.3

Bei $t = - 2$ ist die Ableitung $144$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $H' (t) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 {(- \frac{1}{2})}^{5} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{2})}^{5}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{2^{5}})) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1^{5}}{2^{5}}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1}{2^{5}}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{32}$ in den Zähler.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (\frac{- 1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 3 (\frac{- 1}{16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{- 1}{16}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 \cdot - 1}{16} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 6.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 6.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}}))$

Schritt 6.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Schritt 6.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1}{2^{3}})$

Schritt 6.2.1.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1}{8})$

Schritt 6.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (\frac{- 1}{8})$

Schritt 6.2.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 (3) (\frac{- 1}{8})$

Schritt 6.2.1.12.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}))$

Schritt 6.2.1.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}))$

Schritt 6.2.1.12.5

Forme den Ausdruck um.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 3 (\frac{- 1}{4})$

Schritt 6.2.1.13

Kombiniere $3$ und $\frac{- 1}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 6.2.1.14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{- 3}{4}$

Schritt 6.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3}{4}$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 4}{16}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 12}{16}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 9}{16}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$H' (- \frac{1}{2}) = - \frac{9}{16}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{16}$ .

$- \frac{9}{16}$

Schritt 6.3

Bei $t = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{9}{16}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 0)$ da $H' (t) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $\frac{1}{2}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 {(\frac{1}{2})}^{5} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 \frac{1^{5}}{2^{5}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 \frac{1}{2^{5}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 (\frac{1}{32}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$H' (\frac{1}{2}) = 2 (- 3) (\frac{1}{32}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$H' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$H' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$H' (\frac{1}{2}) = - 3 (\frac{1}{16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{16}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{16} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 7.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1^{3}}{2^{3}})$

Schritt 7.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1}{2^{3}})$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 (3) (\frac{1}{8})$

Schritt 7.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 4}))$

Schritt 7.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 4}))$

Schritt 7.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 3 (\frac{1}{4})$

Schritt 7.2.1.11

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3}{4}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12}{16}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 3$ und $12$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{9}{16}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{16}$ .

$\frac{9}{16}$

Schritt 7.3

Bei $t = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $\frac{9}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 1)$ , da $H' (t) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $2$ .

$H' (2) = - 6 {(2)}^{5} + 6 {(2)}^{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$H' (2) = - 6 \cdot 32 + 6 {(2)}^{3}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $32$ .

$H' (2) = - 192 + 6 {(2)}^{3}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$H' (2) = - 192 + 6 \cdot 8$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$H' (2) = - 192 + 48$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 192$ und $48$ .

$H' (2) = - 144$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 144$ .

$- 144$

Schritt 8.3

Bei $t = 2$ ist die Ableitung $- 144$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $H' (t) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Abfallend im Intervall: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Schritt 10