Analysis Beispiele

$\sqrt{200 - 4 p}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d p} [\sqrt{200 - 4 p}]$ als $\frac{d}{d p} [2 \sqrt{50 - p}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $200 - 4 p$ als $2^{2} (50 - p)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $200$ heraus.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{4 (50) - 4 p}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 p$ heraus.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{4 (50) + 4 (- p)}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (50) + 4 (- p)$ heraus.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{4 (50 - p)}]$

Schritt 1.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{2^{2} (50 - p)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d p} [2 \sqrt{50 - p}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{50 - p}$ als ${(50 - p)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d p} [2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}$ nach $p$ gleich $2 \frac{d}{d p} [{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d p} [{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ und $g (p) = 50 - p$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $50 - p$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $50 - p$ .

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{2} {(50 - p)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(50 - p)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(50 - p)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 8.3

Bringe ${(50 - p)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [50 - p])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [50 - p]$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [50 - p]$

Schritt 8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [50 - p]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $50 - p$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [50] + \frac{d}{d p} [- p]$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [50] + \frac{d}{d p} [- p])$

Schritt 10

Da $50$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $50$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d p} [- p]$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p]$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- p$ nach $p$ gleich $- \frac{d}{d p} [p]$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(50 - p)}^{\frac{1}{2}}}$