Analysis Beispiele

$\sin (2 \arccos (x))$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (\arccos (x)) \cos (\arccos (x))$

Schritt 2

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 2.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{1 - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 \sqrt{1^{2} - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cos (\arccos (x))$

Schritt 4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$