Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 17 x + 72}{- 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + 17 x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 17 x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $17$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $72$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 17 lim_{x \to - 8} x + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 17 \cdot - 8 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{64 + 17 \cdot - 8 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.6.1.2

Mutltipliziere $17$ mit $- 8$ .

$\frac{64 - 136 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $136$ von $64$ .

$\frac{- 72 + 72}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.2.6.3

Addiere $- 72$ und $72$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} - 72 - 1 x + x^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{x \to - 8} 72 - lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $72$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 - lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 - lim_{x \to - 8} x + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 + 8 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 72 + 8 + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$\frac{0}{- 72 + 8 + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 72 + 8 + 64}$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $- 72$ und $8$ .

$\frac{0}{- 64 + 64}$

Schritt 1.3.5.3

Addiere $- 64$ und $64$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 17 x + 72}{- 72 - 1 x + x^{2}} = lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 17 x + 72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 17 x + 72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 17 x + 72$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [17 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $17$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $17 x$ nach $x$ gleich $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $17$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 + \frac{d}{d x} [72]}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.5

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17 + 0}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.6

Addiere $2 x + 17$ und $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{\frac{d}{d x} [- 72 - 1 x + x^{2}]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 72 - 1 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 72] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{\frac{d}{d x} [- 72] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.8

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1 x]$ .

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Schritt 3.9.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.9.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{0 - 1 + 2 x}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{- 1 + 2 x}$

Schritt 3.11.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 17}{2 x - 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $17$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - 1}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 17}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 17}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{- 16 + 17}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.1.2

Addiere $- 16$ und $17$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{1}{- 16 - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 16 - 1}$

Schritt 12.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 16$ .

$\frac{1}{- 17}$

Schritt 12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{17}$