Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} - 9}}{lim_{x \to \infty} 2 x - 6}$

Schritt 1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x - 6}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 9}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 9}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.10

Bringe ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.13

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.14

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.15

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.16

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.18

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x - 6]}$

Schritt 3.19

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 3.20

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.20.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 3.20.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 3.20.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Schritt 3.21

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 + 0}$

Schritt 3.22

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5

Schreibe ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x^{2} - 9}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9} \cdot 2}$

Schritt 7

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Schritt 9

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}$

Schritt 10.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}$

Schritt 10.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}$

Schritt 11

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 11.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 11.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.4

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.8.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.8.4

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2.9

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Schritt 11.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 11.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Schritt 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 11.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 11.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.13

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.14

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.15

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Schritt 11.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Schritt 11.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Schritt 11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Schritt 11.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 12.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 12.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$