Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\infty - \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\infty - \frac{1}{4} \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{\infty + 0 (\frac{1}{4})}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $\infty$ und $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 1.3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\infty}{\infty + 0}$

Schritt 1.3.3

Addiere $\infty$ und $0$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - \frac{1}{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + 1 (\frac{1}{4}) x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{- 2}}{4}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.4.7

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - x^{- 2}}$

Schritt 3.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3.10

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6 \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Schritt 4.2

Kombiniere $6$ und $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Schritt 4.4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{\frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 24 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $24$ durch $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $24$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 10

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 11.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{1}}$

Schritt 11.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 11.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 12

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{1}}$

Schritt 13.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.3.1

Dividiere $0 + 24$ durch $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{\frac{0 + 3}{1}}$

Schritt 13.3.2

Dividiere $0 + 3$ durch $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{0 + 3}$

Schritt 13.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 + 24$ und $0 + 3$ .

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Schritt 13.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{1}{4} (0 + 24)$ heraus.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{0 + 3}$

Schritt 13.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 (0) + 3}$

Schritt 13.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 1}$

Schritt 13.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Schritt 13.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Schritt 13.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 8)}{0 + 1}$

Schritt 13.3.4

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{0 + 1}$

Schritt 13.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{1}$

Schritt 13.3.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $8$ .

$\frac{\frac{8}{4}}{1}$

Schritt 13.3.7

Dividiere $8$ durch $4$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 13.3.8

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$