Analysis Beispiele

$lim_{θ \to π} \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $π$ annähert.

$\frac{1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $π$ annähert.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $θ$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $π$ für $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $π$ für $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (π)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1 - \cos (0)}{1 - \cos (π)}$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - \cos (π)}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - \cos (π)}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{1 - \cos (π)}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$\frac{0}{1 - - \cos (0)}$

Schritt 9.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 9.2.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - - 1}$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Schritt 9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{1}$

Schritt 9.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$