Analysis Beispiele

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan (θ^{\cos (θ)})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ^{\cos (θ)})$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $θ^{\cos (θ)}$ als $e^{\ln (θ^{\cos (θ)})}$ um.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\ln (θ^{\cos (θ)})})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (θ^{\cos (θ)})$ durch Herausziehen von $\cos (θ)$ aus dem Logarithmus.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\cos (θ) \ln (θ)})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \ln (θ)})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $θ$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\tan (e^{0 \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Schritt 5.2

Vereinfache $0 \cdot \ln (\frac{π}{2})$ , indem du $0$ in den Logarithmus ziehst.

$\tan (e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{0})})$

Schritt 5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\tan ({(\frac{π}{2})}^{0})$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\tan (\frac{π^{0}}{2^{0}})$

Schritt 5.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\tan (\frac{1}{2^{0}})$

Schritt 5.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\tan (\frac{1}{1})$

Schritt 5.7

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\tan (1)$

Schritt 5.8

Berechne $\tan (1)$ .

$1.55740772$