Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{2} - x - \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2

Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - (1) - \ln (1)$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 - \ln (1)$

Schritt 4.2.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$1 - 1 - 0$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 - 1 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

Schritt 4.3.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(1, 0)$

Schritt 5