Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = e^{x} - (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + e^{x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + e^{x}$ .

$- 3 x^{2} + e^{x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + e^{x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + e^{x} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.45896226, 0.91000757, 3.73307902$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $e^{x} - x^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 0.45896226$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 0.45896226$ .

$e^{- 0.45896226} - {(- 0.45896226)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} - {(- 0.45896226)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 0.45896226$ mit $3$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} - - 0.09667873$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.09667873$ .

$\frac{1}{e^{0.45896226}} + 0.09667873$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $\frac{1}{e^{0.45896226}}$ und $0.09667873$ .

$0.72861782$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0.91000757$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0.91000757$ .

$e^{0.91000757} - {(0.91000757)}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $0.91000757$ mit $3$ .

$e^{0.91000757} - 1 \cdot 0.75358981$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.75358981$ .

$e^{0.91000757} - 0.75358981$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $0.75358981$ von $e^{0.91000757}$ .

$1.73075153$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 3.73307902$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $3.73307902$ .

$e^{3.73307902} - {(3.73307902)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $3.73307902$ mit $3$ .

$e^{3.73307902} - 1 \cdot 52.02373776$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $52.02373776$ .

$e^{3.73307902} - 52.02373776$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $52.02373776$ von $e^{3.73307902}$ .

$- 10.21610066$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- 0.45896226, 0.72861782), (0.91000757, 1.73075153), (3.73307902, - 10.21610066)$

Schritt 5