Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.7.4

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.16.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.18

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.19

Kombiniere ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.20

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.21

Um $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.22

Um $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.23.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.23.2

Mutltipliziere $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.23.3

Stelle die Faktoren von $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ um.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.25

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.25.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.25.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.25.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.25.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.25.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.26

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.27

Multipliziere ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.27.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.27.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.27.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.27.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.28

Vereinfache ${(x + 3)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.29

Addiere $2 x$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.30

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.31

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.32

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.33

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.33.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.1.33.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.1.33.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{{(x + 3)}^{1}}}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3}$ an.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} {(x + 3)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.5

Vereinfache.

$x^{2} (x + 3) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x + 3 x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$x^{2} (x + 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{1} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.3

Berechne den Exponenten.

$- 1 {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe $- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ als $- 2^{\frac{2}{3}}$ um.

$- 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} {((- 3) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{1} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Berechne den Exponenten.

$0 {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $0$ und $3$ .

$0 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $3^{\frac{2}{3}}$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - 2^{\frac{2}{3}}), (- 3, 0), (0, 0)$

Schritt 5