Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \tan^{-1} (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.1.1

Um $- 9 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.1.2

Kombiniere $- 9 x^{2}$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Schritt 2.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.4

Setze die Werte $a = - 9$ , $b = - 9$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.3

Addiere $81$ und $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 2.3.5.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Schritt 2.3.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Schritt 2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.3

Addiere $81$ und $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 2.3.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Schritt 2.3.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.6.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.7.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Schritt 2.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.3

Addiere $81$ und $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 2.3.7.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Schritt 2.3.7.3

Vereinfache $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Schritt 2.3.7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.7.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Schritt 2.3.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Schritt 2.3.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - 1.39752746$

Schritt 2.3.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Schritt 2.3.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

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Schritt 2.3.11.2.1

Schreibe $- 1.39752746$ als $- 1 (1.39752746)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Schritt 2.3.11.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Schritt 2.3.11.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Schritt 2.3.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Schritt 2.3.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Schritt 2.3.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Schritt 2.3.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Schritt 2.3.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 0.39752746$

Schritt 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Schritt 2.3.13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Schritt 2.3.13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Schritt 2.3.13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Schritt 2.3.14

Die Lösung von $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ ist $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \sqrt{0.39752746}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Berechne $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ als $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ um.

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $0.39752746$ mit $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{0.0628205}$ von $2.81271509$ .

$2.06079452$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Berechne $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.39752746}$ an.

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Schritt 4.2.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Schritt 4.2.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ als $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ um.

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Schritt 4.2.2.1.6

Potenziere $0.39752746$ mit $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Schritt 4.2.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 2.81271509$ und $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Schritt 5