Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ und $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Multipliziere $(x - 2) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Addiere $- 7 x$ und $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.4

Addiere $6$ und $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.3

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 2.3.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Schritt 2.3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Schritt 2.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

Schritt 4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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