Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ als Funktion.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{2}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.3

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.4.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.10.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.4.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.5

Schreibe $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ als $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ um.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.6

Um $x^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.7

Kombiniere $x^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10.2.10

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ und $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2.12

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 5.1.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 5.1.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + x (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.3

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.10.2.4.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.10.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.4.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.5

Schreibe $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ als $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ um.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.6

Um $x^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.7

Kombiniere $x^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.10.2.10

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ und $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 6.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 6.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 6.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.2.6

Das kgV von $3, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 6.2.7

Das kgV von $x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.2.8

Das kgV von $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$5 x^{1} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4

Vereinfache $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ in den Zähler.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$5 x - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 7.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 7.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 7.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2}{5}, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$\frac{10}{9 \frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.4

Kombiniere $10$ und $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Schritt 10.1.6

Kombiniere $9$ und $\frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Schritt 10.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.9

Bringe $2^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Schritt 10.1.10

Multipliziere $2^{\frac{4}{3}}$ mit $2^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.10.1

Bewege $2^{- 1}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot (2^{- 1} \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 10.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 + \frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.10.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.10.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}}$

Schritt 10.1.10.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.10.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 3 + 4}{3}}}$

Schritt 10.1.10.6.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11

$x = \frac{2}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2}{5}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{5}) - 1)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot ((\frac{2}{5}) - 1)$

Schritt 12.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 5}{5}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 5}{5}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{- 3}{5}$

Schritt 12.2.6

Kombinieren.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Schritt 12.2.7

Multipliziere $5^{\frac{2}{3}}$ mit $5$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.7.1

Mutltipliziere $5^{\frac{2}{3}}$ mit $5$ .

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Schritt 12.2.7.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Schritt 12.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Schritt 12.2.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Schritt 12.2.7.4

Addiere $2$ und $3$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 12.2.8

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 12.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{5}) = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 12.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{1}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{10}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{10}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.2$ , aus dem Intervall $(0, \frac{2}{5})$ in die erste Ableitung $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.2$ .

$f' (0.2) = \frac{5 {(0.2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $0.2$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.2) = \frac{5 \cdot 0.34199518}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.34199518$ .

$f' (0.2) = \frac{1.70997594}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.3

Dividiere $1.70997594$ durch $3$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.4

Potenziere $0.2$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 \cdot 0.58480354}$

Schritt 15.3.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0.58480354$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{1.75441064}$

Schritt 15.3.2.1.6

Dividiere $2$ durch $1.75441064$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1 \cdot 1.13998396$

Schritt 15.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.13998396$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1.13998396$

Schritt 15.3.2.2

Subtrahiere $1.13998396$ von $0.56999198$ .

$f' (0.2) = - 0.56999198$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.56999198$ .

$- 0.56999198$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{2}{5}, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{5 {(3)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.2.1.1

Bringe ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2

Multipliziere $3$ mit $3^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 15.4.2.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = \frac{5}{3^{1 - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3 - 2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 15.4.2.1.3.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3.4

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Um $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3^{\frac{4}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3.2

Multipliziere $3^{\frac{1}{3}}$ mit $3^{\frac{3}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.4.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1 + 3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.2.5.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.5.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f' (3) = \frac{15 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.5.4

Subtrahiere $2$ von $15$ .

$f' (3) = \frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = \frac{2}{5}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{2}{5}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{2}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ .

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{2}{5}$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{2}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16