Analysis Beispiele

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 1

Schreibe $y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ als Funktion.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.3

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.4.2.4

Dividiere $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ durch $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ mit $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ heraus.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Schritt 2.4.2.5

Addiere $4 x$ und $x$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ und $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $\frac{5}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.6.2

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ und $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.2.6.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Schritt 3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 3.4.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 3.4.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 3.4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.7.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Schritt 3.4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Schritt 3.4.7.3

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 3.4.7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 3.5

Um $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.10.2.4

Dividiere $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ heraus.

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Schritt 3.11.1.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 3.11.1.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 3.11.1.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 3.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 3.11.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 3.11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 3.11.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 3.11.1.6

Multipliziere $3 \frac{5 x}{2}$ .

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Schritt 3.11.1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 3.11.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 3.11.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Schritt 3.11.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Schritt 3.11.1.9

Subtrahiere $15$ von $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.10

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.11

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.13

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.14

Addiere $5 x$ und $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.15.2.4

Dividiere $10 x$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 10}{2}$ an.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.17

Faktorisiere $10$ aus $10 x - 40$ heraus.

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Schritt 3.11.1.17.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Schritt 3.11.1.17.2

Faktorisiere $10$ aus $- 40$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.17.3

Faktorisiere $10$ aus $10 x + 10 \cdot - 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Schritt 3.11.1.18

Kombiniere $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ und $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.19

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 3.11.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.1.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.1.21

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 3.11.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Schritt 3.11.3

Faktorisiere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ aus $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Schritt 3.11.4

Multipliziere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

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Schritt 3.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ mit $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.3.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.6.4.2.4

Dividiere $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Schritt 5.1.3.8

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 5.1.4.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 5.1.4.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.1.4

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.2.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Schritt 5.1.4.2.5

Addiere $4 x$ und $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Schritt 6.3

Setze ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ gleich $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

Schritt 6.3.2

Löse ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $\frac{x}{2} - 5$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 5$

Schritt 6.3.2.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.2.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 5$

Schritt 6.3.2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = 10$

Schritt 6.4

Setze $\frac{5 x}{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $\frac{5 x}{2} - 5$ gleich $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x}{2} = 5$

Schritt 6.4.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.4.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Schritt 6.4.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 10, 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 10, 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 10$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(10) - 4$ und $4$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ heraus.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

Schritt 10.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

Schritt 10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

Schritt 10.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $15$ mit $0$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 10.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Schritt 11.2.2.3

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

Schritt 11.2.2.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

Schritt 11.2.2.6

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

Schritt 11.2.2.7

Mutltipliziere $- 125$ mit $- 5$ .

$f' (0) = 625$

Schritt 11.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $625$ .

$625$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(2, 10)$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Schritt 11.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Schritt 11.3.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Schritt 11.3.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

Schritt 11.3.2.5

Dividiere $30$ durch $2$ .

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

Schritt 11.3.2.6

Subtrahiere $5$ von $15$ .

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

Schritt 11.3.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $10$ .

$f' (6) = - 80$

Schritt 11.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- 80$ .

$- 80$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $12$ , aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die erste Ableitung ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.4.2.1

Dividiere $12$ durch $2$ .

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Schritt 11.4.2.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Schritt 11.4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Schritt 11.4.2.4

Mutltipliziere $\frac{5 (12)}{2} - 5$ mit $1$ .

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

Schritt 11.4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $12$ .

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

Schritt 11.4.2.6

Dividiere $60$ durch $2$ .

$f' (12) = 30 - 5$

Schritt 11.4.2.7

Subtrahiere $5$ von $30$ .

$f' (12) = 25$

Schritt 11.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $25$ .

$25$

Schritt 11.5

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Maximum.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.6

Da die erste Ableitung um $x = 10$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 10$ ein lokales Minimum.

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12