Analysis Beispiele

$y = 2 x + \sin (4 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 x + \sin (4 x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 x + \sin (4 x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \sin (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$2 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 + \cos (4 x) \cdot 4$

Schritt 2.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$2 + 4 \cos (4 x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 4 \cos (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (4 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (\cos (4 x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (4 x))$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (4 x))$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Schritt 3.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- 4 \sin (4 x))$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = 0 - 16 \sin (4 x)$

Schritt 3.3

Subtrahiere $16 \sin (4 x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 + 4 \cos (4 x) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos (4 x) = - 2$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (4 x) = - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (4 x) = - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\cos (4 x)$ durch $1$ .

$\cos (4 x) = \frac{- 2}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\cos (4 x) = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (4 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (4 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 9.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 10

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 11.1.5

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$4 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 11.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{4 π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{4 π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Schritt 11.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{4}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 11.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 12

Die Lösung der Gleichung $4 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{3}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 16 \sin (2 (2) \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 16 \sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 14.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 16 \sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 14.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 16 \sin (2 \frac{π}{3})$

Schritt 14.2

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$- 16 \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 14.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 16 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 14.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$2 (- 8) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \sqrt{3}$

Schritt 15

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{6}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{6}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{2 (3)}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (4 (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 (2) (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Schritt 16.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Schritt 16.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (2 (\frac{π}{3}))$

Schritt 16.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 16.2.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 16.2.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Kombiniere $4$ und $\frac{π}{3}$ .

$- 16 \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 18.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- 16 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 18.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 16 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$2 (- 8) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 8 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 8 (- \sqrt{3})$

Schritt 18.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 \sqrt{3}$

Schritt 19

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{π}{3}) + \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (4 (\frac{π}{3}))$

Schritt 20.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 20.2.1.3

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 20.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 20.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x + \sin (4 x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 22