Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{3}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 a x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 a x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Addiere $3 a x^{2} + 4 x + 2$ und $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2$

Schritt 1.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 3 x^{2} a + 4 x + 2$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} a + 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} a$ nach $x$ gleich $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 a x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 a x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 a x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 a x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 a x + 4 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $6 a x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 a x + 4$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 a x + 4$ .

$6 a x + 4$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 a x + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 a x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 a x = - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 a x = - 4$ durch $6 a$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 a x = - 4$ durch $6 a$ .

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{6 a}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2)}{6 a}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 a$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2)}{2 (3 a)}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 a)}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2}{3 a}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3 a}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- \frac{2}{3 a}$ in $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- \frac{2}{3 a})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3 a}$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3 a})}^{3}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3 a}$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{{(3 a)}^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $3 a$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} a (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Faktorisiere $a$ aus ${(- 1)}^{3} a$ heraus.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Faktorisiere $a$ aus $3^{3} a^{3}$ heraus.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.4

Kombiniere ${(- 1)}^{3}$ und $\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3 a}$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3 a})}^{2}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3 a}$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{{(3 a)}^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.9.3

Wende die Produktregel auf $3 a$ an.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.11

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.13

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{9 a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.14

Multipliziere $2 \frac{4}{9 a^{2}}$ .

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Schritt 3.1.2.1.14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{9 a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Schritt 3.1.2.1.15

Multipliziere $2 (- \frac{2}{3 a})$ .

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Schritt 3.1.2.1.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - 2 \frac{2}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.1.15.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.1.15.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.2

Um $\frac{8}{9 a^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27 a^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{9 a^{2}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{9 a^{2} \cdot 3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 24}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $- 8$ und $24$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$ .

$\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2}{3 a}$ in $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{2}{3 a}) \cup (- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $N^{2} a - 0.1$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a - 0.1) + 4$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $6$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Schritt 5.3

Bei $N^{2} a - 0.1$ , die zweite Ableitung ist $N a N$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $N^{2} a + 0.1$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a + 0.1) + 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.2.1

Bewege $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $0.1$ mit $6$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Schritt 6.3

Bei $N^{2} a + 0.1$ , die zweite Ableitung ist $N a N$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte