Analysis Beispiele

$f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 e^{x} - e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 e^{x} - 2 e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 1.2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 1.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$8 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$8 u - 4 u^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 u$ aus $8 u - 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $4 u$ aus $8 u$ heraus.

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (2) + 4 u (- u)$ heraus.

$4 u (2 - u) = 0$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 - e^{x} = 0$

Schritt 2.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.5

Setze $2 - e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 - e^{x}$ gleich $0$ .

$2 - e^{x} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 - e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} = - 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 2$

Schritt 2.5.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 2.5.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.5.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 2.5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 2.5.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (2)$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\ln (2)$ in $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (2)$ .

$f (\ln (2)) = 8 e^{\ln (2)} - e^{2 (\ln (2))}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (2)) = 8 \cdot 2 - e^{2 (\ln (2))}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - e^{2 (\ln (2))}$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache $2 (\ln (2))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{\ln (2^{2})}$

Schritt 3.1.2.1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (2)) = 16 - 2^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 1 \cdot 4$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 4$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f (\ln (2)) = 12$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\ln (2)$ in $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ ermittelt werden kann, ist $(\ln (2), 12)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\ln (2), 12)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \ln (2)) \cup (\ln (2), \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \ln (2))$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.59314718$ .

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{2 (0.59314718)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.59314718$ .

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$ .

$8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Schritt 5.3

Bei $0.59314718$ ist die zweite Ableitung $1.37770663$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, \ln (2))$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \ln (2))$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\ln (2), \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.79314718$ .

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{2 (0.79314718)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.79314718$ .

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$ .

$8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Schritt 6.3

Bei $0.79314718$ , die zweite Ableitung ist $- 1.85970944$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\ln (2), \infty)$

Abfallend im Intervall $(\ln (2), \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\ln (2), 12)$ .

$(\ln (2), 12)$

Schritt 8