Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 1.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Ersetze die $- 10 \cos^{2} (x)$ durch $- 10 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 \cdot 1 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$- 10 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.4

Addiere $10 \sin^{2} (x)$ und $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 + 20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Schritt 2.5

Stelle das Polynom um.

$20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) - 10 = 0$

Schritt 2.6

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$20 {(u)}^{2} + 10 (u) - 10 = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $10$ aus $20 u^{2} + 10 u - 10$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $10$ aus $20 u^{2}$ heraus.

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $10$ aus $10 u$ heraus.

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$10 (2 u^{2}) + 10 u + 10 (- 1) = 0$

Schritt 2.7.1.4

Faktorisiere $10$ aus $10 (2 u^{2}) + 10 u$ heraus.

$10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1) = 0$

Schritt 2.7.1.5

Faktorisiere $10$ aus $10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1)$ heraus.

$10 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.7.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.7.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$10 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Schritt 2.7.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$10 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Schritt 2.7.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.7.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.7.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.7.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$10 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 2.7.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$10 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 2.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 2.9

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.9.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 2.9.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.9.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 2.9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.9.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 2.10

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.10.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 2.12

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 2.13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Schritt 2.14

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.14.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2.14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.14.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 2.14.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 2.14.4

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 2.14.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.14.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.14.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.14.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 2.14.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 2.14.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 2.14.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.14.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.15

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.15.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.15.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.15.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.15.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.15.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.15.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.15.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.15.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.15.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.15.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.15.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.15.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.15.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.15.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.15.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.15.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.15.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.15.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.16

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.17

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{4}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.5

Multipliziere $5 (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 3}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 3.1.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 (- 5) (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 \cdot (- 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5$

Schritt 3.1.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + \frac{- 5 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 5 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 20}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $20$ von $15$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = - 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Schritt 5.2

Die endgültige Lösung ist $- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Schritt 5.3

Bei $0.42359877$ , die zweite Ableitung ist $- 2.51042168$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{6})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = - 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Schritt 6.3

Bei $0.62359877$ ist die zweite Ableitung $2.65979756$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{6}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Schritt 8