Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.10

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.11.1

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.11.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.11.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.9

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.10

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.11

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} e^{x}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.12

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.13

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.13.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.3.14

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x}) + 2 (- \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - 2 \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + \frac{- 2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Um $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 x^{\frac{2}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.2.5.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1 + 1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.7

Addiere $2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ und $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

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Schritt 1.2.4.2.7.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.7.2

Addiere $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ und $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.8

Um $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.9

Kombiniere $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ und $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 + 2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.13

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.2.14

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{3}} e^{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} e^{x} + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.4.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $4 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.1.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.1.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.3

Um $4 x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.4

Kombiniere $4 x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.6.3.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{1} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.4

Vereinfache $2 \cdot 3 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.7

Um $3 x^{\frac{4}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.8

Kombiniere $3 x^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} \frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.2

Multipliziere $x^{\frac{4}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.10.2.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.2.4

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{6}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.2.5

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.5

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.10.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.5

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.4.7

Kombinieren.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.2.4.8

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.8.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.8.4

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.9

Mutltipliziere $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $9 x^{2} + 12 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $9 x^{2} + 12 x - 2$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.3.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 12$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.3

Addiere $144$ und $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Schritt 2.3.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.2.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.3

Addiere $144$ und $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.2.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.3

Addiere $144$ und $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.4

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Schritt 2.3.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{6})}{3}$

Schritt 2.3.3.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0.14982991$ in $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.14982991$ .

$f (0.14982991) = {(0.14982991)}^{\frac{2}{3}} e^{0.14982991}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $0.14982991$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f (0.14982991) = 0.28209735 e^{0.14982991}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $0.28209735$ mit $e^{0.14982991}$ .

$f (0.14982991) = 0.32769463$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.32769463$ .

$0.32769463$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.14982991$ in $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(0.14982991, 0.32769463)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.14982991, 0.32769463)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 1.48316324$ in $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.48316324$ .

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} e^{- 1.48316324}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{e^{1.48316324}})$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere ${(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{1}{e^{1.48316324}}$ .

$f (- 1.48316324) = \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$ .

$\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1.48316324$ in $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0.14982991, 0.32769463), (- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1.48316324) \cup (- 1.48316324, 0.14982991) \cup (0.14982991, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1.48316324)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.58316324$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{e^{- 1.58316324} (9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2)}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Bringe $e^{- 1.58316324}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.58316324$ mit $2$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 \cdot 2.50640586 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $2.50640586$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1.58316324$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 - 18.99795897 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $18.99795897$ von $22.55765281$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{3.55969384 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.2.5

Subtrahiere $2$ von $3.55969384$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$ .

$\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Schritt 5.3

Bei $- 1.58316324$ ist die zweite Ableitung $0.01928428$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 1.48316324)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1.48316324)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.48316324, 0.14982991)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.66666666$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{e^{- 0.66666666} (9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2)}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Bringe $e^{- 0.66666666}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 0.66666666$ mit $2$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 \cdot 0.\overline{4} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.\overline{4}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.66666666$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 - 8 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 4 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.2.5

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 0.66666666) = - \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$ .

$- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Schritt 6.3

Bei $- 0.66666666$ , die zweite Ableitung ist $- 0.58771588$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 1.48316324, 0.14982991)$

Abfallend im Intervall $(- 1.48316324, 0.14982991)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.14982991, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.24982991$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 {(0.24982991)}^{2} + 12 (0.24982991) - 2)}{9 {(0.24982991)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.24982991$ mit $2$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 \cdot 0.06241498 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.06241498$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0.24982991$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 2.99795897 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $0.56173487$ und $2.99795897$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (3.55969384 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.1.5

Subtrahiere $2$ von $3.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Multiplizieren von Termen.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.24982991$ mit $\frac{4}{3}$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot 0.15734728}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $e^{0.24982991}$ mit $1.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{9 \cdot 0.15734728}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $0.15734728$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{1.41612555}$

Schritt 7.2.2.3.2

Dividiere $2.00234594$ durch $1.41612555$ .

$f'' (0.24982991) = 1.41396073$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.41396073$ .

$1.41396073$

Schritt 7.3

Bei $0.24982991$ ist die zweite Ableitung $1.41396073$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0.14982991, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0.14982991, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$ .

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$

Schritt 9