Analysis Beispiele

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (2 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Schritt 1.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6$ von $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x > \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 7.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $7.54648713$ ist größer als die rechte Seite $5.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 0.78401247$ ist nicht größer als die rechte Seite $5.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $7.94679123$ ist größer als die rechte Seite $5.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Wahr

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falsch

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Wahr

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Wahr

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falsch

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ oder $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Schritt 14