Analysis Beispiele

$3 x^{2} + 2 x < x^{4}$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- x$ aus $3 x^{2} + 2 x - x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $2 x$ .

$3 x^{2} - x^{4} + 2 x = 0$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $3 x^{2}$ und $- x^{4}$ um.

$- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- x \cdot x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) + 2 x = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $2 x$ heraus.

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{3}) - x (- 3 x)$ heraus.

$- x (x^{3} - 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{3} - 3 x) - x (- 2)$ heraus.

$- x (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 3.2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 - 2$

Schritt 3.2.3.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Schritt 3.2.5

Dividiere $x^{3} - 3 x - 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 3.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Schritt 3.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 3.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 3.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 3.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 3.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 3.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 3.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 3.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 3.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 3.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 3.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 3.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 3.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 3.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 2$

Schritt 3.2.6

Schreibe $x^{3} - 3 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$- x ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- x ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Schritt 3.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Schritt 3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Schritt 3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 2$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) < {(- 4)}^{4}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $40$ ist kleiner als die rechte Seite $256$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) < {(- 0.5)}^{4}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0.0625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(1)}^{2} + 2 (1) < {(1)}^{4}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) < {(4)}^{4}$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $56$ ist kleiner als die rechte Seite $256$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $- 1 < x < 0$ oder $x > 2$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (2, \infty)$

Schritt 13