Analysis Beispiele

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Berechne $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Schritt 1.2

Berechne $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Schritt 1.3

Bringe $0.95105651$ auf die linke Seite von $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 0.30901699$ mit $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 0.30901699$ mit $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $0.95105651$ mit $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $0.95105651 i$ an.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.7

Potenziere $0.95105651$ mit $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.9

Multipliziere $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

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Schritt 3.1.9.1

Mutltipliziere $0.90450849$ mit $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.9.2

Mutltipliziere $- 0.92705098$ mit $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Schritt 3.1.10

Wende die Produktregel auf $0.95105651 i$ an.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Schritt 3.1.11

Potenziere $0.95105651$ mit $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Schritt 3.1.12

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 3.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Schritt 3.1.14

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Schritt 3.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Addiere $- 0.02950849$ und $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $0.8602387 i$ von $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0.80901699$ und $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $- 0.58778525$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $0.80901699$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Schritt 7.3

Addiere $0.3454915$ und $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 7.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 1$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Schritt 9

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{5}$ und $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$