Analysis Beispiele

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 1

Schreibe $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ als Funktion.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.6.4.2.4

Dividiere $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Schritt 2.1.3.8

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.1.4.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 2.1.4.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.1.4

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ heraus.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.2.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Schritt 2.1.4.2.5

Addiere $4 x$ und $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ und $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.2

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.2.6.1

Addiere $\frac{5}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.6.2

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ und $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.2.6.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 2.2.4.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 2.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 2.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Schritt 2.2.4.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 2.2.4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.4.7.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Schritt 2.2.4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Schritt 2.2.4.7.3

Kombiniere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 2.2.4.7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Schritt 2.2.5

Um $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.10.2.4

Dividiere $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.2.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.11.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ heraus.

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Schritt 2.2.11.1.1.1

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.1.2

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.1.3

Faktorisiere ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ aus ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.6

Multipliziere $3 \frac{5 x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.11.1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.9

Subtrahiere $15$ von $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.10

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.11

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.13

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.14

Addiere $5 x$ und $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.11.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.11.1.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.15.2.4

Dividiere $10 x$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 10}{2}$ an.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.17

Faktorisiere $10$ aus $10 x - 40$ heraus.

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Schritt 2.2.11.1.17.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.17.2

Faktorisiere $10$ aus $- 40$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.17.3

Faktorisiere $10$ aus $10 x + 10 \cdot - 4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Schritt 2.2.11.1.18

Kombiniere $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ und $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.19

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 2.2.11.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.11.1.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.1.21

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Schritt 2.2.11.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Schritt 2.2.11.3

Faktorisiere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ aus $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Schritt 2.2.11.4

Multipliziere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

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Schritt 2.2.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ mit $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze ${(x - 10)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze ${(x - 10)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Löse ${(x - 10)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.2.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 3.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 10, 4$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $10$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$f (10) = 0$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $10$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(10, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(10, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $4$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$f (4) = 324$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $324$ .

$324$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $4$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(4, 324)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(4, 324)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(10, 0), (4, 324)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Schritt 6.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $- 18.605$ durch $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Schritt 6.3

Bei $3.9$ , die zweite Ableitung ist $- 4.65125$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 4)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 4)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, 10)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Schritt 7.3

Bei $7$ ist die zweite Ableitung $33.75$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(4, 10)$ .

Ansteigend im Intervall $(4, 10)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.1.3.1

Mutltipliziere $6.1$ mit $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Schritt 8.2.1.3.2

Mutltipliziere $30.5$ mit ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $0.305$ durch $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.07625$ .

$0.07625$

Schritt 8.3

Bei $10.1$ ist die zweite Ableitung $0.07625$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(10, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(10, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Schritt 10