Analysis Beispiele

$x \sqrt{x^{2} + 25}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt{x^{2} + 25}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 25}$ als ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.8.3

Bringe ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.11

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.12.3

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.16

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.16.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.16.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.19

Um ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.21

Multipliziere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.21.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.21.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.21.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.21.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.22

Vereinfache ${(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} + 25$ und $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.6.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.4.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.10.3

Bringe ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.13

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.14

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.14.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.14.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.14.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.14.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.15.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.2

Mutltipliziere $- 2 x^{2} - 25$ mit $\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.3

Um $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5

Schreibe $\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.2.15.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x$ heraus.

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Schritt 2.2.15.2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $(- 2 x^{2} - 25) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.2

Multipliziere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.15.2.5.2.1

Bewege ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.3

Vereinfache $4 {(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 25 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 100 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 100 - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.2.5.7

Subtrahiere $25$ von $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.15.3.1

Schreibe $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 25}$

Schritt 2.2.15.3.2

Mutltipliziere $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 25}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Schritt 2.2.15.3.3

Multipliziere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 25$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.15.3.3.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 25$ .

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Schritt 2.2.15.3.3.1.1

Potenziere $x^{2} + 25$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Schritt 2.2.15.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.2.15.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.15.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.2.15.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (2 x^{2} + 75) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 75 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $2 x^{2} + 75$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $2 x^{2} + 75$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 75 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $2 x^{2} + 75 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $75$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 75$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 75$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 75$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 75}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{75}{2}$

Schritt 3.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$ .

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Schritt 3.3.3.2.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{75}{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{75}{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{75}{2}}$ als $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.4.4.1

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.3.2.4.4.1.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \pm i \frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.4.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.3.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.3.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.3.2.4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.3.3.2.4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.4.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.3.2.4.8.1

Kombiniere $i$ und $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (5 \sqrt{6})}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4.8.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x^{2} + 75) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 25}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 25}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $25$ .

$f (0) = 0 \sqrt{25}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (0) = 0 \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 \cdot 5$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{(- 0.1) (2 {(- 0.1)}^{2} + 75)}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $2 {(- 0.1)}^{2} + 75$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0.01$ und $25$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $25.01$ als ${5.0009999}^{2}$ um.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $5.0009999$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{125.07500749}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 7.502$ durch $125.07500749$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.05998$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.05998$ .

$- 0.05998$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.05998$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{(0.1) (2 {(0.1)}^{2} + 75)}{{({(0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $0.1$ mit $2 \cdot {0.1}^{2} + 75$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({0.1}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.01$ und $25$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $25.01$ als ${5.0009999}^{2}$ um.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Schritt 7.2.2.6

Potenziere $5.0009999$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{125.07500749}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $7.502$ durch $125.07500749$ .

$f'' (0.1) = 0.05998$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.05998$ .

$0.05998$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.05998$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 9