Analysis Beispiele

$5 \sqrt{x} e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $5 \sqrt{x} e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.13

Vereinfache.

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Schritt 2.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.13.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.13.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 5 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.13

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2.17

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.16

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.18

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Schritt 2.2.3.19

Vereinfache.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.2.3.20

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.4.3.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.8

Um $- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.2.4.3.9

Um $\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.4.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.6

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.7

Mutltipliziere $\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.8

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.3.10.8.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 2.2.4.3.10.8.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.4.3.10.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Schritt 2.2.4.3.10.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.2.4.3.10.8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.10.8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.4

Stelle die Terme um.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.5.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.2.4.5.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.2.4.5.1.1.1.1

Bewege $e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 x e^{- x} + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.1.1.2

Stelle $- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ um.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 5 x e^{- x}$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.2

Subtrahiere $5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ von $- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.3

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.2.4.5.1.3.1

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.3.2

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 5 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.3.3

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 5 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.2.4.5.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.4.5.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.6

Um $2 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.7

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.5.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.5.1.9.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.3

Vereinfache $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.4.5.1.10.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.10.2

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $- 5$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.10.3

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.11

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.5.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.12

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $4 x + 1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 5 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5.3

Multipliziere $- \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 2.2.4.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.6

Um $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.7

Kombiniere $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.9.1

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 5 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.2.4.9.1.1

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.1.2

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $- 5 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 5 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.1.3

Faktorisiere $5 e^{- x}$ aus $5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 5 e^{- x} (- (4 x + 1))$ heraus.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.9.2.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.2.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.9.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 3.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.3.3

Setze $4 x^{2} - 4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $4 x^{2} - 4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.3.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.3.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.3.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.3.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1.20710678$ in $f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $5 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{1.20710678}}$ und $5$ .

$f (1.20710678) = \frac{5}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

Schritt 4.1.2.4.2

Kombiniere $\frac{5}{e^{1.20710678}}$ und $\sqrt{1.20710678}$ .

$f (1.20710678) = \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ .

$\frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1.20710678$ in $f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$ ermittelt werden kann, ist $(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1.20710678)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Bringe $e^{- (1.10710678)}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $1.10710678$ mit $2$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1.22568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $4.42842712$ von $4.90274169$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $0.47431457$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $1.10710678$ als ${1.05219141}^{2}$ um.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3.4

Potenziere $1.05219141$ mit $3$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

Schritt 6.2.3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $1.16488825$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

Schritt 6.2.3.5.2

Mutltipliziere $4.65955301$ mit $e^{1.10710678}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.52568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{- 2.62842712}{14.09790642}$

Schritt 6.2.4.2

Dividiere $- 2.62842712$ durch $14.09790642$ .

$f'' (1.10710678) = - 0.18644095$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.18644095$ .

$- 0.18644095$

Schritt 6.3

Bei $1.10710678$ , die zweite Ableitung ist $- 0.18644095$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 1.20710678)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1.20710678)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1.20710678, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Bringe $e^{- (1.30710678)}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $1.30710678$ mit $2$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1.70852813$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $5.22842712$ von $6.83411254$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $1.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $1.30710678$ als ${1.1432877}^{2}$ um.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $1.1432877$ mit $3$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $1.49439911$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

Schritt 7.2.3.5.2

Mutltipliziere $5.97759645$ mit $e^{1.30710678}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3.02842712}{22.09000709}$

Schritt 7.2.4.2

Dividiere $3.02842712$ durch $22.09000709$ .

$f'' (1.30710678) = 0.13709489$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $0.13709489$ .

$0.13709489$

Schritt 7.3

Bei $1.30710678$ ist die zweite Ableitung $0.13709489$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1.20710678, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1.20710678, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ .

$(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Schritt 9