Analysis Beispiele

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $a^{2} \cos (2 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

Schritt 1.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

Schritt 1.1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

Schritt 1.1.3

Schreibe $- 1 a^{2}$ als $- a^{2}$ um.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

Schritt 2

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

Schritt 3

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

Schritt 4

Schreibe in der Standardform.

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Schritt 4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

Schritt 4.1.2

Addiere $a^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ als $x^{2} + y^{2}$ um.

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Schritt 4.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2.6.5

Vereinfache.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ an.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ an.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ als $x^{2} + y^{2}$ um.

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Schritt 4.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4.5

Vereinfache.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + y^{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Faktorisiere $x^{2} + y^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ heraus.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + y^{2}$ aus ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ heraus.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.6.2

Kombiniere $a^{2}$ und $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.7

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 a^{2} x^{2}$ heraus.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ heraus.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.5

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.7.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.4.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.5

Addiere $y^{2} x^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 4.2.7.5.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.7.5.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Schritt 4.2.8

Um $a^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.2.10.2

Addiere $- 2 x^{2} a^{2}$ und $a^{2} x^{2}$ .

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Schritt 4.2.10.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.2.10.2.2

Addiere $- 2 a^{2} x^{2}$ und $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 5