Analysis Beispiele

$\ln (x^{4} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{4} + 1)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3})$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 1} x^{3}$

Schritt 2.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 1}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x^{3} = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{1 + 1}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f' (- 1) = - 2$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{3}}{{(1)}^{4} + 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1^{4} + 1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f' (1) = 2$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 9