Analysis Beispiele

$e^{4 x}$

Schritt 1

Schreibe $e^{4 x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{4 x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4$

Schritt 2.1.2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 e^{4 x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 e^{4 x} = 0$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

Schritt 3.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4

Es gibt keine Lösung für $4 e^{4 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = 4 e^{4 x}$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = e^{4 x}$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = 4 e^{4 x}$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 e^{4}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = 4 e^{4 x}$ ist $4 e^{4}$ , was positiv ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ansteigend.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $4 e^{4 x} > 0$

Schritt 8

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer ansteigt.

Immer ansteigend

Schritt 9