Analysis Beispiele

$- \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $- \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.1.6.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.1.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 3.6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 3.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \sin (2 x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = - \cos^{2} (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Schritt 6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{π n}{2} - 1$ ist die Ableitung $\sin (π n - 2)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{π n}{2} + 1$ ist die Ableitung $\sin (π n + 2)$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Schritt 9