Analysis Beispiele

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Schritt 2.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.1.3.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.3.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 2.1.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Schritt 3.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 0, 8$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 8$ .

$0, 8$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 6.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Schritt 6.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Schritt 6.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Schritt 6.2.2.9

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Schritt 6.2.2.10

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Addiere $10$ und $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $30$ durch $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $10$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 8)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 7.2.2

Entferne die Klammern.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 7.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 8)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 8)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 8.2.2

Entferne die Klammern.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 8.3

Bei $x = 9$ ist die Ableitung $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(8, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(8, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 8), (8, \infty)$

Schritt 10