Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.4.5.2

Mutltipliziere $x - 7$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 7)}^{2}$ als $(x - 7) (x - 7)$ um.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.1.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.2.2

Addiere $- 28 x^{2} + 98 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.2.3

Addiere $- 28 x^{2}$ und $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $14 x$ aus $- 14 x^{2} + 98 x$ heraus.

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Schritt 2.1.5.3.1

Faktorisiere $14 x$ aus $- 14 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.3.2

Faktorisiere $14 x$ aus $98 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.3.3

Faktorisiere $14 x$ aus $14 x (- x) + 14 x (7)$ heraus.

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 7$ und ${(x - 7)}^{4}$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4.2

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 7)$ heraus.

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4.4

Schreibe $- (x - 7)$ als $- 1 (x - 7)$ um.

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4.5

Faktorisiere $x - 7$ aus $14 x (- 1 (x - 7))$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

Schritt 2.1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.4.6.1

Faktorisiere $x - 7$ aus ${(x - 7)}^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Schritt 2.1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Schritt 2.1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

Schritt 2.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$14 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $14 x = 0$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $14 x = 0$ durch $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $14$ .

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 7)}^{3} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $- 512$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 14$ heraus.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 512$ heraus.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{7}{256}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 7)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $14$ und $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Subtrahiere $14$ von $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 8.2.2.9

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $98$ durch $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $49$ .

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Schritt 8.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{343}$ in den Zähler.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

Schritt 8.2.5.2

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

Schritt 8.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

Schritt 8.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

Schritt 8.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{7}{2}$ ist die Ableitung $\frac{8}{7}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 7)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 7)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(7, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $14$ mit $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.1

Dividiere $112$ durch $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $112$ .

$f' (8) = - 112$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 112$ .

$- 112$

Schritt 9.3

Bei $x = 8$ ist die Ableitung $- 112$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(7, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(7, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 7)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (7, \infty)$

Schritt 11