Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{4 - x}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{2}{4 - x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{4 - x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{4 - x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 - x}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{4 - x})$

Schritt 2.1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{- 1})$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = 2 (- {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - 2 ({(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 2.1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.1.1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.1.1.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2.1.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 2.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2}$

Schritt 2.1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(4 - x)}^{2}})$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(4 - x)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(4 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}})$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}}$ als ${({(- x + 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(- x + 4)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(- x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(- x + 4)}^{- 2})$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = - x + 4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x + 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x + 4$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(- x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(- x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Schritt 2.1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.1.2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.1.2.3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Schritt 2.1.2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.7.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 4 {(- x + 4)}^{- 3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{{(- x + 4)}^{3}})$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(- x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2}{4 - x}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{4 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(- (0) + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $0$ und $4$ .

$f'' (0) = \frac{4}{4^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{4}{64}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $64$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (0) = \frac{4 (1)}{64}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 4)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{4}{{(- (6) + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (6) = \frac{4}{{(- 6 + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 6$ und $4$ .

$f'' (6) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{4}{- 8}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 8$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4 (1)}{- 8}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (6) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(4, \infty)$ konkav, weil $f'' (6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 4)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8